阅读完这篇文章，你将会收获以下内容：

1、二项分布均值公式的推导过程

2、组合数吸收恒等式

3、二项分布的阶乘矩公式

【初探】

    最近真正的武汉五调终于出炉了！趁着这个热度，我想带大家回头看看大半个月前流传的那份“武汉五调流传卷”.那份卷子虽非官方命制，但出题风格与真题高度相似，尤其是第7题.现在真卷在手，再回看这道题，反而能品出一些当初没注意到的深意.

    作为一道“网红题”，这道题第一眼确实容易让人心里犯怵——求E(X³)，是不是超纲了？其实完全多虑了.它并没有考查什么超纲的偏难怪公式，而是深挖了一个我们在日常刷题中容易忽略的“本源”——二项分布均值的推导过程.

    这道题看似考查二项分布的常规内容，实则剑走偏锋，用大家极不熟悉的E(X³)打破了常规.但这恰恰是这道题最大的价值——它逼着我们跳出死记硬背的E(X)=np，去重新审视二项分布的底层结构.

    我们知道E(X)=np=20×0.5=10，D(X)=np(1-p)=20×0.5×0.5=5，相信所有学生都能轻松得到这两条式子，但先别急，不妨想一想：这些基础公式，和本题要求的E(X³)之间到底藏着什么关联？

我们先尝试把次数提升到2次【注意：E(X²)≠[E(X)]²，E(X³)≠[E(X)]³】，通过公式变形可得E(X²)=D(X)+[E(X)]²=5+10²=105，相信大多数110分以下的同学都能做到这一步，但这距离最终结果还差最后1次，而这恰恰就是本题的绝对难点.

【溯源】

    在思考下一步之前，我们需要回溯一下二项分布均值公式E(X)=np的推导过程，请看教材《选择性必修二》P76，这道难题的破解关键，其实就写在那一页的推导过程里

    大家当时有没有细究过这段证明过程？推导的核心，其实就在于这样一个关键式子——组合数吸收恒等式

    它的作用非常神奇：能把组合数前面的系数k“吸收”掉，转化为常数n，同时让组合数的上下标各减1

    为了防止大家对这条公式感到陌生，我们先通过一个具体的场景来理解它：

    假设班里有n个同学，现在需要选出一个k人的小组，并且必须在组内指定1个人当组长，请问一共有多少种选法？

方法一（对应等式左边）：先选组，再定人

先选组：从n个同学中，盲选出k个人组成一个小组，有种选法；

再定人：小组选好后，从这k个人里挑1个当组长，有k种选法；

总数：根据分步乘法计数原理，有种选法.

方法二（对应等式右边）：先定人，再补员

先定人：直接从全班n个同学中，指定1个人当组长，有n种选法；

再补员：组长定好了，还需要k-1个普通组员，这时候班里还剩下n-1个人，从剩下的人里选出k-1个来填满小组，有种选法.

总数：根据分步乘法计数原理，有种选法.

既然两种方法算的是同一件事，结果必然相等，从而得到这个恒等式，其这里要注意定义的边界：左边要求k≥0，但在求和时k=0项为0，右边要求k≥1，这正是我们在求和时将下标从0变为1的依据.

【深挖】

    我们类比二项分布E(X)的推导过程以及组合数吸收恒等式的原理，看看能不能求E(X³)，先观察P(X=k)的具体结构，你会发现直接硬求E(X²)和E(X³)是比较困难的.

    为什么呢？因为组合数吸收恒等式对形式有严格要求：组合数前面的系数，必须和它的上标完全一致才能“吸收”，在求E(X²)或E(X³)时，当我们使用1次吸收恒等式后，组合数的上标会减1（变成k-1），但前面剩下的系数依然是k，这时候系数k和上标k-1不匹配，导致无法再次持续使用吸收恒等式.

    因此我们转换思路，考虑先计算同阶的E[X(X-1)]和E[X(X-1)(X-2)]这样的式子（阶乘矩），这种形式能完美配合组合数的“降阶”特性，实现连续吸收.

①求E(X)需要吸收1次，第一次吸收k，根据课本上的证明过程，我们利用恒等式

得到

②求E[X(X-1)]需要吸收2次，第一次吸收k，第二次吸收k-1，我们连续2次利用恒等式得

得到

我们需要把X²用X(X-1)和X进行配凑（简单的代数变形或待定系数），得

两边取期望，得

③求E[X(X-1)(X-2)]需要吸收3次，第一次吸收k，第二次吸收k-1，第三次吸收k-2，我们连续3次利用恒等式得

得到

我们需要把X³用X(X-1)(X-2)和X(X-1)和X进行配凑（简单的代数变形或待定系数），得

两边取期望，得

言归正传，本题要求的E(X³)已经出来了，只需代入n=20，p=0.5即可，E(X)=20×0.5=10，

E[X(X-1)]=20×19×0.5²=95，

E[X(X-1)(X-2)]=20×19×18×0.5³=855，

从而得到E(X³)=855+3×95+10=1150.

故选B.

【升华】

    结论：若X~B(n,p)，其k阶阶乘矩为

即得到二项分布的阶乘矩公式，这个公式揭示了二项分布的一个重要性质：只需将等式右边的n替换为随机变量X，期望公式依然成立，或者写成更紧凑的形式：

或者用排列数符号简记为：

例如，我们之前计算过的：

还可以继续推广：

……

    对于普通的k阶原点矩E(X^k)，通常我们需要对X^k表示为上述“下降阶乘”的线性组合来求解.这个过程涉及一个有趣的数学工具——斯特林数（Stirling Numbers），感兴趣的同学可以课后查阅相关资料，了解它如何将幂函数与阶乘矩联系起来.

公众号主理人：广州数学陈老师

专注初高中数学十余年

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