武汉市重点中学5G联合体2026学年高二下期末考试数学 第15题 三角形综合题 — 详细解析

题目

15.（本小题 13 分）

在  中，角 ，， 的对边分别为 ，，，若

（1）求角 ；

（2）若 ， 的面积为 ，求 ， 的值。

一、考点分析

本题是解三角形的经典综合题，核心考察高中数学「解三角形」模块的核心知识点，属于高二期末及高考高频中档题，具体考点如下：

• 正弦定理：实现三角形边与角的正弦值互化，是边角混合等式转化的核心工具；
• 三角恒等变换：两角和的正弦公式、辅助角公式，用于化简三角方程、求解角度；
• 三角形内角和定理：通过  完成角的消元，简化方程；
• 三角形面积公式：，建立边长与面积的联系；
• 余弦定理：建立边长与角的余弦值的关系，结合代数变形求解边长；
• 韦达定理（一元二次方程根与系数关系）：将二元边长问题转化为一元二次方程求解，是简化计算的常用技巧。

二、解题思路

（1）求角 

等式中同时包含边和角，目标是求角，因此优先用正弦定理将边全部转化为角；再利用三角形内角和  消去角 ，将方程化简为仅含角  的三角方程；最后通过辅助角公式求解方程，结合三角形内角范围确定角 。

（2）求 ， 的值

已知一边长和面积，先通过三角形面积公式求出  的乘积；再结合余弦定理得到  的值；利用完全平方公式推出  的和；最后根据韦达定理构造以 ， 为根的一元二次方程，解方程直接得到 ， 的值，思路更直观、计算更简洁。

三、详细解题过程

（1）求角 

已知等式：

根据正弦定理：（ 为  外接圆半径），可得

将其代入原等式，两边约去 ，得：

由三角形内角和 ，得 ，因此

根据两角和的正弦公式展开：

将  代入上述方程：

展开并化简： 与  抵消，剩余

在  中，，故 ，两边同时除以 ：

对左边使用辅助角公式：提取系数 ，变形为

即

由 ，得 。

在该区间内，满足  的角只有 ，因此：

（2）求 ， 的值（韦达定理解法）

已知 ， 的面积 ，且由（1）知 。

第一步：由面积公式求  的乘积

由三角形面积公式 ，代入已知条件：

代入 ，化简得

两边约去 ，得：

第二步：由余弦定理求 

由余弦定理 ，代入 、、：

代入 ，化简得

第三步：由完全平方公式求  的和

根据完全平方和公式：

代入 ，：

由于 ， 为三角形边长，均为正数，因此开方取正：

第四步：由韦达定理构造方程求解

已知 ，，根据韦达定理：

若两个数的和为 、积为 ，则这两个数是一元二次方程  的两个实数根。

因此 ， 是方程  的两个根，对方程因式分解：

方程有两个相等的实根 ，因此：

四、解题技巧与总结

1. 边角互化原则

等式中边、角混合时，求角则优先边化角，求边则优先角化边；正弦定理是最常用的转化工具，形式简单、计算量小。

2. 三角形内角消元技巧

方程中出现三个内角时，利用  消去一个角，将三元方程降为二元方程，是解三角形的常规消元思路。

3. 辅助角公式的应用

形如  的式子，统一提取  化为  的形式，是求解三角方程的核心技巧，需熟练掌握特殊角的三角函数值。

4. 韦达定理简化边长求解

解三角形中已知两边之积、两边之和时，优先用韦达定理构造一元二次方程求解，相比直接解二元二次方程组更直观、更符合代数思维习惯，也能有效减少计算失误。

通用流程：面积公式求  → 余弦定理求  → 完全平方公式求  → 韦达定理构造方程求解。

五、易错提醒

• 解三角方程时必须结合角的范围（三角形内角 ）舍去增根；
• 面积公式的 、余弦定理的  容易写错系数，计算后需回代验证；
• 由  开方时，注意边长为正，只取正根。