江汉区2025～2026学年度第一学期九年级元月调研考试
数学试题
一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．有两个事件，事件（1）：走到十字路口，交通信号灯显示绿灯；事件（2）：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，全部正面朝上，下列判断正确的是（）
A．（1）是随机事件，（2）是确定性事件B．（1）（2）都是随机事件
C．（1）是确定性事件，（2）是随机事件D．（1）（2）都是确定性事件
2．公元2026年是我国农历丙午年，属马年．春节期间，大小媒体会呈现大量以马为主题的文案，金马贺岁、马到成功！下列文字图案中，是轴对称图形的是（）
ABCD
3．一元二次方程x2＋2x－1＝0的根的情况是（）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根
4．函数y＝－(x－1)2＋2 的顶点坐标是（）
A．(1，2)B．（－1，－2) C．(1，－2) D．(－1，2)
5．在平面中，已知⊙O的半径为4cm，点P在⊙O内，则OP的长（）
A．等于或大于4cmB．大于4cmC．小于4cmD．等于4cm
6．某商品的价格是100元，连续两次降价x%后的价格是81元，则x是（）
A．9B．10C．19D．8
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE．若AE⊥BD，则∠CAD的度数是（）
A．160°B．150°C．140°D．130°
第7题图第9题图
8．盒子中有四个除颜色外一模一样的小球，其中两个红球，两个黄球．从中随机一次摸出2个球，刚好是“一个红球、一个黄球”的概率是（）
A．B．C．D．
9．如图，等腰直角△ABC内接于半圆⊙O，D是AC上一点，AD沿弦AD翻折后与弦AC相交于点E，若E是AD的中点，则的值是（）
A．B．＋1C．＋1D．
10．小强同学用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）的图象．先取了自变量的8个值x1，x2，…，x8，满足x1＜x2＜…＜x8，且相邻两数的差相等，然后计算出对应的函数值并列表如下．其中有一个函数值算错了，错误的是（）
x | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 |
y | 11.9 | 36.7 | 77.5 | 134.3 | 205.1 | 295.9 | 400.7 | 521.5 |
A．295.9B．205.1C．134.3D．77.5
二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点P（－3，5)关于原点对称的点的坐标是．
12．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 | 20 | 40 | 100 | 200 | 400 | 1000 |
“射中9环以上”的次数 | 15 | 33 | 78 | 158 | 321 | 801 |
“射中9环以上”的频率 | 0.75 | 0.83 | 0.78 | 0.79 | 0.80 | 0.80 |
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是（结果保留小数点后一位）．
13．报纸上刊登广告每平方厘米版面收取相同的广告费．李华要刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付180元的广告费，如果他要把版面的边长扩大为原来的3倍，则要付元广告费．
14．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是．
15．如图，等边△DEF的顶点分别在等边△ABC的三边上，若△ABC和△DEF的边长分别是6和4，则△ADF的周长是，△ADF的内切圆的半径是．
16．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a＝0）经过(－1，－2)，(1，0)，(m，0)三点，其中m≠1．下列结论：①b＝l；②若与y轴的交点在正半轴，则－1＜m＜0；③若关于x的不等式ax2＋(b－1)x＋c＋1＞0的解集是－1＜x＜1，则a＞0；④若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(h，k)，则k＞0或k≤－2；⑤抛物线y＝ax2＋bx＋c上有两点(－t，y1)，(＋t，y2)，满足当t＞0时，恒有y1＞y2成立，则a＜－1．其中正确的是（填写序号）．
三、解答题：（本题共8小题，共72分）
17．（本小题满分8分）关于x的一元二次方程x2十mx－8＝0有一个根是x＝4，求m的值及方程的另一个根．
18．（本小题满分8分）如图，E是正方形ABCD中CD边上一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得到△ABF．连接BD，EF，BD与EF相交于点M．
（1）小强同学猜想M是EF的中点，他过点E作EH∥BF交BD于点H，然后发现了证明这个结论的方法，请帮小强同学完成证明过程；
（2）若正方形的边长为6，CE＝2DE，直接写出AM的长．
19．（本小题满分8分）如图，线段AB的长为1．点C在线段AB上，满足关系式AC2＝BC·AB．
（1）求线段AC的长度；
（2）点D在线段AC上，且AD2＝CD·AC．直接写出线段AD与AC的数量关系．
20．（本小题满分8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD相交于点M，AC⊥BD．
（1）求证：∠AOB＋∠COD＝180°；
（2）已知AB＝8，CD＝6．
①直接写出⊙O的半径的长；
②若BC＝3，直接写出劣弧AD的中点到弦AD的距离．
21．（本小题满分8分）如图是由小正方形组成的6×6的网格，正方形的顶点称为格点，图中B，M均为格点，点A，C在网格线上，⊙O是△ABC的外接圆．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个画图任务的画线不得超过三条．
（1）在图（1）中，画△ABC的中线AD；
（2）在图（1）中，画线段AC关于点M对称的线段AC；
（3）在图（2）中，在边AC上画点N，使AB2＝AN·AC；
（4）在图（2）中，过点A画⊙O的切线．
22．（本小题满分10分）某商品的进价为每件40元，市场调查反映：商品现在的售价为每件60元，每星期可以卖出300件．如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件．商场决定在不亏本的前提下降价销售．
（1）若每件商品降价元销售，直接写出该商品每星期的销售利润y（单位：元）与之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；
（2）若每星期的销售利润为5720元，求该商品的实际售价；
（3）如何定价才能使销售利润最大？
23．（本小题满分10分）问题背景
如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B．M是边AB上一点，N是边上一点，∠AMN＝∠BMC．
（1）探究：如图（1），若N是边AD上一点，求证：＝；
（2）变式：如图（2），若N是边CD的中点，BC＝2AD，求的值；
问题迁移如图（3），在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠BCD＝90°，点M在边AB上，∠AMD＝∠BMC．若BC＝5，CD＝，直接写出MC的长．
24．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3 经过点P(1，－4)，与坐标轴分别交于A，B，C三点．直线y＝kx与抛物线交于D，E两点．
（1）直接写出的值和A，B两点的坐标；
（2）如图（1），直线x＝m与直线DE相交于点F，与抛物线相交于点G，若k＝－1，以O，C，F，G为顶点的四边形为平行四边形时，求m的值；
（3）如图（2），点M在抛物线上，DM∥AB，直线ME，PE分别交y轴于点N，Q，当k（k≠－4）变化时，是否为定值，若是，求其值，若不是，请说明理由．
