题目
如图，椭圆 ，，已知 右顶点为 且它们的交点分别为 ，，，.
(1)求 与 的标准方程；
(2)过点 作直线 ，交 于点 ，交 于点 ，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求 ；（上述各点均不重合）
(3)点 是 上的动点，直线 交 于点 ，直线 交 于点 ，直线 交 于点 ，直线 与直线 交于点 ，求点 坐标，使直线 与直线 的斜率之积为定值.（上述各点均不重合）
思路分析
第(1)问
，.
第(2)问
由对径点联想到第三定义：
，，所以 .
第(3)问
，即线束 与 成射影对应.
记 与 的斜率分别为 ，则射影对应可由以下关系给出
当 在右顶点时，，；
当 时， 为 的切线，；
当 时， 为 的切线，.
由上述三对对应关系可得
所以可求得点 的轨迹为双曲线
为其中一个顶点，由第三定义，所求点 为另一顶点 .
总结
由点 的生成方式想到射影对应.
本题常规的方法是分别找 与 ， 与 ， 与 的斜率关系，这种关系本质上就是射影对应.
顺便说一句，第三定义本质上也是射影对应，所以可以看作二次曲线的射影定义的特殊情况.
本文的方法则是利用了射影对应的复合仍然是射影对应，直接找 的关系，并且利用三种特殊情况来确定射影对应，避免了中间繁琐的计算，降低了运算量.
总的来说，本题是具有射影几何背景的圆锥曲线题，如果我们知道一些背景或者二级结论，可能更容易找到解题方向（即斜率之间具有分式线性函数关系）.
但是这样出题并不好！这种以射影几何为背景的题目会引导我们去拓展这方面的知识，加重我们备考的负担；另一方面，通过增加计算量的方式来提升难度，与重视思维的压轴题命题趋势是背道而驰的.
质量：★★☆☆☆难度：★★★☆☆
参考答案
