八角齿轮 | 2026 年武汉四月供题 11 D 引发的思考

研学路上无事可干，想要开新坑，写一些在我看来感触较深（学科不限），发到公众号上，也顺便复活一下这个号（虽然距离上次发不止一年）。

这次选择发的是 2026 年的武汉 四调四月供题数学 11 题的 D 选项，其实是一些杂念，和高考的距离比较大，单纯是前一天晚上积了 1h 想着发表一下成果，当然这 1h 算是慢的了。

因为这道题曲线的封闭部分长得很像齿轮，标题名被我叫成「八角齿轮」。

原题

已知曲线 ，则

• D. 曲线 所围成的面积 满足 

选出这个选项是不难的，本文的目标是求出 。

解答

在计算之前，先给出一个积分参考：

当时为了这个求出这个积分还是花了很大功夫的。

设 ，如图。

那么 

则：

进一步变形：

（没有作图工具，见谅）

令

则：

部分分式分解后：

还原变量得到：

以上步骤中，部分分式化这一步我用的时间最长，比较麻烦的。

回到原题，先完成基础操作：求出交点，注意到对称性，转换为阴影部分面积的 倍：

进而

拆分为：

其中，

代入前述公式：

计算得：

这一步的计算也有难度。

全部代入得：

漂亮的结果。

总结

我并不想在这里展示，我对积分的操作多么熟练（况且事实也并非如此），但写到这里我是释怀的。我只是想让我心里的八角齿轮一直转动，，知道它满足我的好奇心。

Stay loved, stay motivated.